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Nota Histórica: El origen del concepto de número irracional se encuentra siempre en la intuición geométrica y en la necesidad de la misma Geometría. Pitágóras fue el primero en señalarlo de forma parecida a la siguiente: Si se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitud 1, la longitud de la hipotenusa es igual a raíz cuadrada de 2 y éste no es un número racional. Si escribimos raíz cuadrad de2 = a/b,donde a y b son números; enteros primos entre sí, fácilmente se llega a una contradicción con resultados conocidos de la divisibilidad de números enteros. Tan notable descubrimiento bien merecía el sacrificio de 100 bueyes con que fue; celebrado por Pitágoras. Los matemáticos griegos posteriores estudiaron además de estos irracionales sencillos, otros cada vez más complicados; encontrándose, en Euclides, tipos como raíz cuadrada de (raiz cuadada de a + raíz cudrada de b) y otros semejantes. En general, se puede decir que los griegos se limitaron esencialmente a trabajar con los irracionales que se obtienen por aplicación repetida de la extracción de raíces cuadradas y que, por ello se podrían construir con la regla y el compás, pero nunca llegaron a tener la idea general de número irracional. Esta hizo su aparición al final del siglo XVI, como consecuencia de la introducción de los números decimales, cuyo uso se generalizó ya antes con motivo de la formación de la tabla de logaritmos. Cuando se transforma un quebrado ordinario en número decimal, pueden obtenerse, aparte de números decimales limitados, otros ilimitados que son necesariamente periódicos. Ahora bien, nada hay que impida considerar un número decimal aperiódico, esto es un número decimal cuyas cifras se suceden sin obedecer a ley alguna determinada y sin parar; cualquiera lo consideraría como un número determinado, aunque naturalmente, no racional. Con esto se tiene ya el concepto de número irracional, espontánea creación, en cierto modo, del proceso aritmético que lleva consigo la fracción decimal. Históricamente acontece así, que el cálculo obligó a que se introdujeran los nuevos conceptos y, sin que se pensase gran cosa sobre su esencia y fundamento, se operaba con ellos, afirmando su existencia, sobre todo al reconocer repetidamente su extraordinaria utilidad. Sólo al llegar al año 60 del siglo XIX se vió la necesidad de formular aritméticamente, de manera precisa, los fundamentos de los números irracionales. Weierstrass fue el primero que abrió camino en estas investigaciones a través de las lecciones que explicaba en la Universidad de Berlín. En el año 1872 G. Cantor, fundador de la teoría de conjuntos, dió en Universidad de Hall una teoría general de dichos números . De forma simultánea pero independiente, Dedekind hizo otro tanto en la Universidad de Brunswick. Introducción y propiedades: Los números racionales, junto con los números irracionales forman los números reales. De la importancia de estos números ya se dieron cuenta los griegos seis siglos antes de Cristo. Los números reales y sus propiedades; a continuación se estudian las desigualdades y el concepto de valor absoluto que servirán para introducir el concepto de intervalo; después se analizarán las potencias de los números reales y finalmente se estudian las ecuaciones e inecuaciones en una variable y las ecuaciones de segundo grado y se establece una introducción a los logaritmos.
Llamaremos número irracional a todo número decimal no periódico. Por ejemplo: 1'121121112... Algunos números irracionales surgen del estudio de cuestiones geométricas. Así, al medir el cociente de la longitud de una circunferencia por el diámetro de la misma, aparece el número n =(pi). n = 3'14159265. Los números racionales e irracionales forrman los números reales. El conjunto de estos números se designa por la letra R.
Números reales: Sean a, b y c tres números
reales; entonces se verifican las siguientes propiedades:
Denominación de la RAE de Número
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