|
|
Elementos de la teoría de los
conjuntos 
|
| Biografía
Nombre:
George
Cantor (1845 - 1918)
Especialidad:
Matemático
|
Nació
en San Petersburgo (Rusia). Estudió en el Politécnico
de Zurich y en Berlín. Sus profesores en Berlín fueron
Weierstrass, Kummer y Kronecker.
En
1869 entró como profesor en la Universidad de Halle.
Cantor siempre quiso que le llamaran de una de las
Universidades importantes (Berlín o Gotinga) pero la
llamada no se produjo, se cree que por la oposición de
Kronecker, con el que estaba enfrentado porque los
trabajos de Cantor refutaban los fundamentos de los
trabajos que realizaba Kronecker.
Cantor
fue el fundador de la teoría de los conjuntos
infinitos.
Sus
teorías fueron muy controvertidas en su época y tuvo
enfrentamientos con otros matemáticos.
Murió en
1918 en un sanatorio mental. |
|
|
Nota Histórica:
La teoría de
conjuntos fue creada por Cantor (1845-1918). Desde 1872 hasta
finales del siglo XIX, la noción de conjunto era intuitiva. Esta
utilización de los conjuntos sin la ayuda de reglas precisas llevó
rápidamente a la aparición de paradojas. Estas paradojas no eran
nuevas, ya en el siglo IVa.C., un personaje de Eubulides que siempre
miente, declara que está diciendo una mentira. ¿És esta frase la
expresión de la verdad? Cualquiera que sea la respuesta se llega a
una contradicción. Una paradoja parecida aparece en El Quijote de
Cervantes.
La primera paradoja
estrictamente matemática aparecida fue dada por Cantor, pero
B.Russell (1872-1970) es el autor de la mas famosa: Supongamos que
se distingue entre conjuntos "normales" y
"anormales"; por normales se entiende aquellos conjuntos
que no son elementos de si mismos. Por ejemplo, el conjunto de los
árboles en un campo es un conjunto "normal", pues tal
conjunto no es ningún árbol. Los conjuntos "anormales"
son aquellos que se contienen a si mismos: El conjunto de los
conjuntos es "anormal" pues a su vez es un conjunto.
Rusell se preguntó por la naturaleza del conjunto de todos los
conjuntos normales. ¿,era normal o anormal?. Si era normal no se
contenía a sí mismo, con lo que formaba parte del conjunto de los
conjuntos normales, y, por lo tanto, era anormal pues se contenía a
si mismo. Contradicción. Si era anormal, se contenía a si mismo,
con lo cual formaba parte del conjunto de los conjuntos normales y
era por tanto normal. Contradicción de nuevo. Esta ingeniosísima
paradoja mantuvo en vilo a los matemáticos varios años y motivó
la axiomatización de la teoría de los conjuntos. La primera
axiomatización de la teoría de conjuntos se debe a Zermelo
(1817-1953) en 1908; fue mejorada por Fraenkel (1891 - 1965) en 1922
y con ella las paradojas antes mencionadas desaparecen ya que uno de
los axiomas dice "Ningún conjunto es elemento de sí
mismo".
Conjuntos:
Como toda noción
primaria la definición da conjunto se debe de aceptar
intuitivamente. Por lo tanto diremos "nos da idea da lo que es
un conjunto", los libros existentes en una biblioteca, las
manzanas que existen en una cesta, etc. La consideración
simultánea de objetos nos hace entender la idea de conjunto. Los
objetos de nuestro primer ejemplo son los libros y del segundo las
manzanas. Pues bien, los libros y las manzanas son los elementos del
conjunto.
Los conjuntos se
acostumbran a representar por letras mayúsculas y los elemenItos de
los conjuntos por letras minúsculas.
Consideremos el
conjunto de las vocales de nuestro alfabeto que denominaremos por V,
por lo tanto la representación del conjunto V
será:
V =
{a, e, i, o,u}
Los elementos del
conjunto V son a,
e, i, o y u. Cuando un elemento
forma parte de un conjunto decimos que pertenece al conjunto y se
acostumbra a representar por el símbolo  .
Por tanto decimos i
V ("que se lee i
pertenece a V"). Si un elemento no
pertenece a un conjunto se expresa con el símbolo  .
De esta manera diremos que b
V (que se lee "b
no pertenece a V").
A veces ocurre que un
conjunto carece de elementos, es decir, no tiene ningún elemento, a
este conjunto se le llama "conjunto vacío" y lo
representamos por el signo  .
Los conjuntos que
tienen los mismos elementos se les llaman iguales o idénticos.
Hay dos formas de
comprender los con juntos, por comprensión o por extensión.
Definimos un conjunto por comprensión cuando damos una propiedad
ocaracterística de tal forma que los elementos que la tienen quedan
perfectamente determinados y pertenecen al conjunto y los que no la
cumplen no pertenecen al conjunto.
El conjunto V
anterior lo podemos definir por comprensión diciendo: "V
es el conjuntos de las letras vocales del alfabeto".
Definimos un conjunto
por extensión cuando nombramos todos y cada unos de los elementos
que pertenecen a él. Así podemos decir: "el conjunto V
está formado por los elementos a, e, i, o, u".
Denominación de la RAE
de Conjunto
Imprimir
|
