Introducción:

Hace muchos siglos la geometría hizo su aparición en el mundo. Fueron los griegos, y entre ellos Euclides, quienes fundaron esta ciencia. La construyeron observando directamente los cuerpos de la naturaleza. De ellos extrajeron los conceptos de punto, recta y plano, que forman la base de esta ciencia.

Cualquier figura geométrica es un conjunto de puntos, rectas y planos, de modo que se les pueden aplicar todas las ideas que sobre conjuntos conocemos.

Estos tres conceptos sobre los cuales construimos la geometría, como todo concepto primario, no admiten una definición; por lo tanto, tenemos que recurrir a la intuición.

Decimos que un granito de arena, la huella que deja sobre el papel un lápiz de punta afilada, nos sugieren la idea o concepto de punto.

Igualmente, un hilo tenso nos da idea de recta, o una superficie pulimentada nos da idea de plano.

Si intentamos quitar el soporte material que nos da la idea y nos preguntamos qué son en sí, se nos hace muy difícil responder a esta cuestión. Estos conceptos intuitivos e indefinibles reciben el nombre de primeros principios, axiomas o postulados.

Axiomas fundamentales:

Primer axioma. Existen unas "cosas" que llamamos puntos.

Segundo axioma. Los puntos se agrupan dando lugar a rectas y planos. Las rectas son conjuntos de puntos ilimitados de una sola dimensión y los planos tienen dos
dimensiones, ilimitadas ambas. En las representaciones que realizamos tenemos que hacerlos limitados necesariamente.

Tercer axioma. Dos puntos determinan una recta y solamente una a la que pertenecen. Del mismo modo, el conjunto de los demás puntos de ella se dicen alineados con los dados.

Cuarto axioma. Un plano queda determinado por tres puntos no alineados. De este axioma se puede deducir directamente que un plano está también determinado:

• a) Por una recta y un punto exterior a la misma.

• b) Por dos rectas que se cortan. 

• c) Por dos rectas paralelas.

Quinto axioma. Toda recta, dos de cuyos puntos pertenezcan al plano, está toda ella incluida en él.

De este postulado deducimos que una recta con relación al plano puede ocupar tres posiciones:

• a) Que la recta no tenga ningún punto común con el plano. En este caso decimos que la recta y el plano sog paralelos.

• b) Que la recta tenga un solo punto común con el plano. En este caso, la recta corta al plano.

• c) Que la recta tenga dos puntos en común con el plano y por lo tanto está contenida en él.
  

Si dos rectas están en el mismo plano se dice que son coplanarias.

Si dos rectas no están en el mismo plano se dice entonces que se cruzan.

Sexto axioma. Axioma de división del espacio. 

Todo plano divide al espacio en dos regiones llamadas semiespacios de tal forma que:

• a) Todo punto que no pertenece al plano está en uno solo de los semiespacios.

• b) Dos puntos del mismo semiespacio pueden ser unidos por una línea sin cortar el plano

• c) Dos puntos de distinto semiespacio no pueden ser unidos por una línea sin cortar el plano.

A partir de estos conceptos que hemos estudiado, no hay nada arbitrario, sino que toda demostración se ha de desarrollar con rigor lógico.

Denominación de la RAE de Geometría

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